解答题

21．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的

垂直平分线与椭圆相交于C、D两点

 （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

 （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由

解:

（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，

代入，整理得：

   ①

设A（），B（），则，是方程①的两个不同的根，

∴，②

且由N（1，3）是线段AB的中点，得=2，

∴解得k=-1，代入②得，

即的取值范围是（12，+∞）

于是直线AB的方程为，即

解法二：设A（），B（），则有

依题意，

∵N（1，3）是AB的中点，∴=2，=6，从而

又由N（1，3）在椭圆内，∴，

∴的取值范围是（12，+∞）

直线AB的方程为，即

（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得

③

又设C（），D（），CD的中点为M（），

则，是方程③的两根，

∴+=-1，且，即M（，）

于是由弦长公式可得  ④

将直线AB的方程代入椭圆方程得

  ⑤

同理可得 ⑥

∵当时，>，

∴|AB|<|CD|

假设存在，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心

点M到直线AB的距离为

⑦

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角

，

即⑧

由⑥式知，⑧式左边=，

由④⑦知，⑧式右边=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆）

解法二：由（Ⅱ）解法一知，

∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得

③

将直线AB的方程代入椭圆方程整理得

⑤

解③和⑤式可得，，

不妨设A（，），

C（，），D（，）

∴，

，

计算可得，

∴A在以CD为直径的圆上

又B为A关于CD的对称点，

∴A、B、C、D四点共圆

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）