解答题

22．（本小题满分14分）

已知不等式，其中n为大于2的整数，表示

不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，

  （Ⅰ）证明：，；

  （Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；

  （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有

  解:

（Ⅰ）证法一：∵当n≥2时，，

∴，即，

于是有，，…，，

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有

∵，∴

∴

证法二：设，首先利用数学归纳法证不等式

（ⅰ）当n=3时，由，

知不等式成立

（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则

即当n=k+1时，不等式也成立

由（ⅰ）（ⅱ）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵，令，

则有，

故取N=1024，可使沁n>N时，都有