解答题

21. （本小题满分12分）

  已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

  ，

，其中a为常数，k为非零常数。

（1）令，证明数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）当时，求。

本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用

数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。

  （1）证明：由，可得

  。

  由数学归纳法可证。

  由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列。

（2）解：由（1）知，

当时，

当时，    。

而  

所以，当时

     。

上式对也成立。所以，数列的通项公式为

当时

    。

上式对也成立，所以，数列的通项公式为

    ，

（2）解：当时