解答题

（20）（本小题满分12分）

直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，

求出的值。若不存在，说明理由。

本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合

应用能力，满分12分。

解：（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理

得。…………①

依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，做

，

，

，

。

解得的取值范围为。

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得

，

。………………②

假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），

则由FA⊥FB得

。

既。

整理得

。……………………③

把②式及代入③式化简得

。

解得或（舍去）。

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。